📑 Formulario - Robótica Industrial (ITESM)

#Physics #Engineering #Control_Theory #Robotics #Math

Table of Contents:

Parte 1. Fundamentos Matemáticos

TEMA 1) Álgebra Lineal

Transpuesta

La transpuesta de una matriz se obtiene intercambiando sus filas por columnas.

{(\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix})}^{T} = (\begin{matrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{matrix})

Determinante (por cofactores)

El determinante de una matriz puede calcularse mediante el desarrollo por filas o columnas.

Desarrollo por fila (i):

det A_{n \times n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} C_{i k}

Desarrollo por columna (j):

det A_{n \times n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k j} C_{k j}

Inversa

La inversa de una matriz ( A ) de tamaño ( n \times n ) se calcula como:

A^{- 1} = \frac{1}{det (A)} adj (A)

Donde la adjunta de ( A ) es la transpuesta de la matriz de cofactores:

(adj A)^{T} = (\begin{matrix} C_{11} & C_{12} & \dots & C_{1 n} \\ C_{21} & C_{22} & \dots & C_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ C_{n 1} & C_{n 2} & \dots & C_{n n} \end{matrix})

Propiedades de las Matrices

Conmutativa: La suma de matrices es conmutativa.
- $A + B = B + A$
- $A B \neq B A$
- $A B = B A = I solo si A = B^{- 1}$
Asociativa: La suma y multiplicación de matrices son asociativas.
- $(A + B) + C = A + (B + C)$
Distribución: La multiplicación distribuye sobre la suma.
- $(A + B) C = A C + B C$
- $A (B + C) = A B + A C$
Transpuesta: La transpuesta de un producto es el producto de las transpuestas en orden inverso.
- $(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$
- $(A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}$
Inversa de Matrices Cuadradas:
- $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$
- $(A^{T})^{- 1} = (A^{- 1})^{T} si A^{- 1}$
Determinante de Matrices Cuadradas: Propiedades del determinante en productos y transpuestas.
- $det (A B) = det A \cdot det B$
- $det (A^{T}) = det A$
- $det (A^{- 1}) = \frac{1}{det A}$

TEMA 2) Álgebra Vectorial

Producto Punto

El producto punto es una operación que toma dos vectores y retorna un escalar.

U \cdot V = U_{x} V_{x} + U_{y} V_{y} + U_{z} V_{z} = | U | | V | \cos θ = U^{T} V = (U_{x} U_{y} U_{z})

{proj}_{U} V = \frac{| U | | V | \cos θ}{| U |} = \frac{U \cdot V}{| U |}

Producto Cruz (Regla de la Mano Derecha)

El producto cruz de dos vectores da un tercer vector perpendicular a los dos primeros.

U \times V = N = | U | | V | \sin θ N = | \begin{matrix} i & j & k \\ U_{x} & U_{y} & U_{z} \\ V_{x} & V_{y} & V_{z} \end{matrix} | = (U_{y} V_{z} - U_{z} V_{y}) i - (U_{x} V_{z} - U_{z} V_{x}) j + (U_{x} V_{y} - U_{y} V_{x}) k

S (U) V U \times U = - U \times V (No es conmutativo)

TEMA 3) Trigonometría

atan2(y, x)

La función atan2 devuelve el ángulo cuyo tangente es el cociente de sus dos argumentos.

atan2 (y, x) = {\begin{cases} atan (\frac{y}{x}), & x > 0 \\ atan (\frac{y}{x}) + π \cdot sign (y), & x < 0 \\ \frac{π}{2} \cdot sign (y), & x = 0, y \neq 0 \\ undefined, & x = 0, y = 0 \end{cases}

Identidades Trigonométricas

Algunas identidades básicas que relacionan las funciones seno y coseno.

\sin (α \pm β) = \sin α \cos β \pm \cos α \sin β

\cos (α \pm β) = \cos α \cos β \mp \sin α \sin β

La verseno (abreviada como "versin") es una función trigonométrica menos común que está relacionada con el coseno. Se define como:

versin (θ) = 1 - \cos θ = 2 \sin^{2} (\frac{θ}{2})

Parte 2. Representación Espacial de Objetos

Traslación (sistemas coordenados alineados)

^A\mathbf{p} = {#A} \mathbf{p}_B + {#B} \mathbf{p}

Rotación (orígenes coincidentes)

^A\mathbf{P} = {#A_B} \mathbf{R} \, {#B} \mathbf{P}

TEMA1) Propiedades de la Rotación

Grupo Especial Orto-normal: SO(3)

El grupo $S O (3)$ , o grupo de rotaciones ortogonales especiales en el espacio tridimensional, es un conjunto de matrices que representan rotaciones en 3D. Estas matrices tienen dos propiedades importantes:

Son ortogonales: La matriz traspuesta de una matriz de rotación es igual a su inversa.
Tienen un determinante de 1: Esto asegura que la rotación no incluye una reflexión, es decir, preserva la orientación.

Matemáticamente, se define como:

S O (3) = {R \in R^{3 \times 3} ∣ R^{T} R = I y det (R) = 1}

Estas propiedades aseguran que las transformaciones realizadas por estas matrices son rotaciones puras, sin distorsión ni reflexión.

$R^{- 1} = R^{T}$
- La matriz inversa de una matriz de rotación es igual a su matriz traspuesta.
Si $R_{1}, R_{2} \in S O (3)$ , entonces $R_{1} R_{2} \in S O (3)$
- La composición de dos matrices de rotación también es una matriz de rotación.
Sea $x \in R^{3}$ y $R \in S O (3)$ , entonces $∥ x ∥ = ∥ R x ∥$
- La norma de un vector no cambia bajo una rotación.
$_{B}^{A} R = {(\begin{matrix} {\hat{x}}_{B} & {\hat{y}}_{B} & {\hat{z}}_{B} \end{matrix})}^{T} = {(\begin{matrix} {\hat{c}}_{1} & {\hat{c}}_{2} & {\hat{c}}_{3} \end{matrix})}^{T}$
- Esto representa la matriz de rotación de un sistema de coordenadas $B$ a un sistema de coordenadas $A$ , donde los vectores ${\hat{x}}_{B}, {\hat{y}}_{B},$ y ${\hat{z}}_{B}$ son los ejes del sistema de coordenadas $B$ expresados en el sistema de coordenadas $A$ .
- Escrito de otra forma mas clara...

^A_B\mathbf{R} = \begin{pmatrix} \hat{\mathbf{x}}_A \cdot \hat{\mathbf{x}}_B & \hat{\mathbf{y}}_A \cdot \hat{\mathbf{x}}_B & \hat{\mathbf{z}}_A \cdot \hat{\mathbf{x}}_B \\ \hat{\mathbf{x}}_A \cdot \hat{\mathbf{y}}_B & \hat{\mathbf{y}}_A \cdot \hat{\mathbf{y}}_B & \hat{\mathbf{z}}_A \cdot \hat{\mathbf{y}}_B \\ \hat{\mathbf{x}}_A \cdot \hat{\mathbf{z}}_B & \hat{\mathbf{y}}_A \cdot \hat{\mathbf{z}}_B & \hat{\mathbf{z}}_A \cdot \hat{\mathbf{z}}_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ^A\hat{\mathbf{x}}_B & {#A} \hat{\mathbf{y}}_B & {#A} \hat{\mathbf{z}}_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \hat{\mathbf{c}}_1 & \hat{\mathbf{c}}_2 & \hat{\mathbf{c}}_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \hat{\mathbf{r}}_1^T \\ \hat{\mathbf{r}}_2^T \\ \hat{\mathbf{r}}_3^T \end{pmatrix}

A mano:

Rotaciones Elementales

^{A} R_{x} (θ) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos θ & - \sin θ \\ 0 & \sin θ & \cos θ \end{matrix})

^{A} R_{y} (θ) = (\begin{matrix} \cos θ & 0 & \sin θ \\ 0 & 1 & 0 \\ - \sin θ & 0 & \cos θ \end{matrix})

^{A} R_{z} (θ) = (\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ & 0 \\ \sin θ & \cos θ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Las inversas de las rotaciones elementales son:

R_{x}^{- 1} (θ) = R_{x}^{T} (θ) = R_{x} (- θ)

R_{y}^{- 1} (θ) = R_{y}^{T} (θ) = R_{y} (- θ)

R_{z}^{- 1} (θ) = R_{z}^{T} (θ) = R_{z} (- θ)

TEMA2) Transformación Homogenea

Propiedades de las Matrices Homogéneas:
Las matrices homogéneas se utilizan para describir transformaciones rígidas en el espacio tridimensional, incluyendo tanto rotaciones como traslaciones. Estas matrices forman parte del grupo especial euclidiano $S E (3)$ .

Grupo Especial Euclidiano

El grupo especial euclidiano $S E (3)$ está compuesto por matrices $T$ de la siguiente forma:

S E (3) = {T = (\begin{matrix} R & P \\ 0 & 1 \end{matrix}) ∣ R \in S O (3) y P \in R^{3}}

Donde:

$R$ es una matriz de rotación de $3 \times 3$ que pertenece al grupo $S O (3)$ (grupo de rotaciones ortogonales especiales).
$P$ es un vector de traslación de $3 \times 1$ .
$0$ es un vector fila de ceros de $1 \times 3$ .
El 1 en la esquina inferior derecha asegura que la matriz homogénea mantenga las propiedades necesarias para las transformaciones rígidas.

Vectores Homogéneos

En las transformaciones homogéneas, los vectores en coordenadas homogéneas se utilizan para facilitar la combinación de rotaciones y traslaciones en una sola operación matricial.

Definición: Un vector homogéneo en 3D tiene la forma:

P = (ω P_{x}, ω P_{y}, ω P_{z}, ω)^{T} con ω = 1

donde:

$P_{x}, P_{y}, P_{z}$ son las coordenadas del punto en el espacio tridimensional.
$ω$ es un factor de escala que, en la mayoría de los casos prácticos, se establece a 1 para simplificar los cálculos.

Nota

La introducción de $ω$ permite representar tanto la rotación como la traslación mediante una sola matriz homogénea $T$ . Esta matriz $T$ puede entonces transformar el vector homogéneo $P$ de una manera que combina ambas operaciones de manera eficiente.

Cuando $ω = 1$ , el vector homogéneo se representa simplemente como:

P = (P_{x}, P_{y}, P_{z}, 1)^{T}

1) Multiplicación Matricial

La multiplicación de dos matrices homogéneas $T_{1}$ y $T_{2}$ se realiza de la siguiente manera:

T_{1} T_{2} = (\begin{matrix} R_{1} & P_{1} \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} R_{2} & P_{2} \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} R_{1} R_{2} & R_{1} P_{2} + P_{1} \\ 0 & 1 \end{matrix})

Esto combina la rotación y traslación de $T_{2}$ con la rotación y traslación de $T_{1}$ .

2) Fórmula de la Inversa

La inversa de una matriz homogénea $T$ es:

T^{- 1} = (\begin{matrix} R^{T} & - R^{T} P \\ 0 & 1 \end{matrix}) \in S E (3)